Partielle Integration

Ein hilfreiches Instrument, um Funktionen zu integrieren ist die partielle Integration. Mit ihr können Funktionen wie x*e^(2x) integriert werden.

Herleitung für partielle Integration

Aus der Schule sollte noch die relativ einfache Produktregel beim Ableiten von Produkten aus verschiedenen Funktionen bekannt sein. Will man ein Produkt der Funktionen u und v ableiten, so gilt:

(uv)’ = u’v + v’u

Diese Produktregel kann uns bei der Lösung unseres Integrationsproblems helfen. Dazu stellen wir sie zunächst etwas um:

u’v = (uv)’ – v’u

und nun Integrieren wir:

int(u’v)dx = int((uv)’)dx – int(v’u)dx

Wir wissen aber, dass

int((uv)’)dx = uv

also ergibt sich

int(u’v)dx = uv – int(v’u)dx (a)

Das heißt, eine der Funktionen, die das Produkt bilden muss abgeleitet werden (v –> v’), zu einer muss eine Stammfunktion gefunden werden (u’ –> u)

Ein Beispiel für partielle Integration

Wählen wir unser Beispiel von oben, um die partielle Integration besser zu verstehen:

x*e^(2x)

Was ergibt diese nun integriert?

Wir wollen die komplexe Funktion ja auf einfach zu integrierende Funktionen, wie z. B. e^x zurückführen. Weiter oben haben wir gelernt, dass wir, wenn die partielle Integration angewandt werden soll, eine Funktion ableiten müssen. Wir wissen aber auch: x abgeleitet ergibt einfach 1. Das wollen wir ausnutzen, also entspricht x unserer Funktion v aus der obigen Regel. Das heißt im Umkehrschluss aber auch, dass e^(2x) der Funktion u entspricht und somit einmal integriert werden muss:

int(e^(2x))dx = 1/2*e^(2x)

Jetzt setzen wir das in die Formel für partielle Integration (a) ein. Es ergibt sich:

int(e^(2x)*x)dx = 1/2*e^(2x)*x – int(1/2*e^(2x))dx

Alles was jetzt noch berechnet werden muss, ist

int(1/2*e^(2x))dx = 1/4*e^(2x)

insgesamt ergibt sich also:

int(e^(2x)*x)dx = 1/2*e^(2x)*x – 1/4*e^(2x)

Die partielle Integration bricht komplexe Integrationen also auf einfachere Rechenoperationen, wie das Integrieren einer e-Funktion, herunter.

Bemerkungen

Bei manchen Funktionen, wie beispielsweise

x*e^(2x)

muss die Regel mehrfach angewendet werden, um zum gewünschten Ergebnis zu kommen.

Falls am Anfang noch Schwierigkeiten beim Anwenden der Regel bestehen, so ist dies nicht weiter schlimm, etwas Erfahrung hilft später zu erkennen, wann die Regel zum Tragen kommt, und welche Funktion abgeleitet bzw. zu welcher eine Stammfunktion gefunden werden muss.

Aufgaben und Lösungen

Die partielle Integration besagt ∫ u(x) * v’(x) dx = u(x) * v(x) – ∫ u’(x) * v(x) dx.

Hierbei wird also nicht der komplette Ausdruck unter dem Integral aufgeleitet. Stattdessen wir ein Teil (v’(x)) aufgeleitet, der andere Teil (u(x)) wird abgeleitet bzw. differenziert. Dieses ‚teilweise’ integrieren ist daher Namensgebend für die partielle Integration. Der erste Schritt für die partielle Integration eines Integrals ist es, sinnvoll festzulegen, welcher Teil des Ausdrucks unter dem Integral u(x) und welcher v’(x) entsprechen soll. Dies sollte nämlich auf keinen Fall beliebig gewählt werden, da es sonst geschehen kann, dass man keine Lösung der Aufgabe erreicht. In der Regel werden Ausdrücke, deren Komplexität sich durch Ableiten vereinfacht als u(x) gewählt, Ausdrücke, deren Komplexität beim Ableiten unverändert erhalten bleibt, wählt man als v’(x). So erreicht man (idealerweise), dass das entstehende Restintegral eine immer geringere Komplexität erhält und schließlich ohne partielle Integration bestimmt werden kann.

Aufgabe 1

Bestimmt werden soll ∫ ½ x * cos(2x) dx.

Wie oben bereits erwähnt, überlegt man zur Festlegung von u(x) und v’(x) zuerst, wie sich die Komplexität der vorhandenen Ausdrücke beim Ableiten verhält. Ein Ausdruck wie sin(x) oder cos(x), oder ein Exponentialausdruck wie ex (=exp(x)) (bei dem x also im Exponenten steht) behält beim Ableiten seine Komplexität. So ist sin(x) abgeleitet eben cos(x), ex ist abgeleitet wieder ex. Daher wählt man für die partielle Integration des gegebenen Integrals v’(x) = cos(2x). Übrig bleibt ½ x für u(x), aber wir sehen auch, dass diese Festlegung zur oben beschriebenen Vorgehensweise passt, da ½ x abgeleitet den konstanten Faktor ½ ergibt, die Komplexität (in diesem Fall der Grad des Polynoms) verringert sich beim Ableiten.
Wir fassen unsere Festlegung zusammen: u(x) = ½ x mit u’(x) = ½ und v’(x) = cos(2x). Die Bestimmung von v(x) ist nicht ganz unmittelbar. Die Aufleitung von cos(x) ist sin(x), allerdings ist das Argument ja 2x, nicht x. Also überlegt man sich was die Ableitung von sin(2x) wäre. Diese wäre cos(2x) * 2. Was uns ‚zuviel’ ist, ist der Faktor 2. Also müssen wir diesen korrigieren, das heißt durch 2 dividieren. Die Aufleitung von cos(2x) ist also ½ sin(2x).
Einsetzen ergibt ∫ ½ x * cos(2x) dx = ½ x * ½ sin(2x) – ∫ ½ * ½ sin(2x) dx.
Zusammenfassen führt zu ¼ x * sin(2x) – ¼∫ sin(2x) dx.
Das neu entstandene Restintegral kann nun direkt, ohne weitere partielle Integration, bestimmt werden, analog zu den Überlegungen zu v’(x) oben, nur mit sin anstatt cos. Das bedeutet das Vorzeichen muss beachtet werden, sin(2x) aufgeleitet ist -½ cos(2x).
Insgesamt erhalten wir also
∫ ½ x * cos(2x) dx = ¼ x * sin(2x) – ¼ * (-½ cos(2x)) + c = ¼ x * sin(2x) +1/8 * cos(2x) + c.
Dabei ist c ein beliebiger konstanter Ausdruck, der üblicherweise an Stammfunktionen unbestimmter Integrale (ohne Grenzen) angehängt wird.

Aufgabe 2

Bestimmt werden soll ∫ arcsin(x) dx.

Nun steht hier erst einmal nur eine Funktion unter dem Integral. Für die partielle Integration suchen wir aber ein Produkt aus zwei Funktionen. Durch einen einfachen Trick erreichen wir dies, nämlich durch Multiplizieren mit dem Faktor 1. Es ist ∫ arcsin(x) dx = ∫ 1 * arcsin(x) dx. Will man nun u(x) und v’(x) identifizieren, so ist klar, dass der Faktor 1 nur v’(x) sein kann, denn würde man ihn für u(x) wählen, wäre u’(x) = 0 und das würde ein Restintegral geben, das nicht definiert ist. Also wählt man v’(x) = 1, dann ist v(x) = x. Es bleibt übrig u(x) = arcsin(x). Die Ableitung davon ist u’(x) = 1/((1-x2)½ bzw. (1-x2) (ohne Bruch geschrieben).
Einsetzen ergibt dann ∫ arcsin(x) dx = arcsin(x) * x – ∫ x * (1-x2) dx.
Bei Betrachtung des neuen Integrals sieht man, dass der Faktor x fast der inneren Ableitung der Funktion (1-x2)entspricht. Die innere Funktion bei diesem Ausdruck ist nämlich (1-x2) und ihre Ableitung -2x. Die äußere Funktion ist x und die Aufleitung davon ist 2x½. Da der Faktor 2 allerdings durch die innere Ableitung vorhanden ist, ist –x * (1-x2) gerade die Ableitung von (1-x2)½. Man denkt sich also lediglich das Minuszeichen in das Integral hinein und hat dann einen Ausdruck dort stehen, von dem die Stammfunktion ohne partielle Integration direkt angegeben werden kann.
Also ∫ arcsin(x) dx = arcsin(x) * x + ∫ -x * (1-x2) dx = arcsin(x) * x + (1-x2)½ + c.
Aufgabe 3

 

Bestimmt werden soll ∫ x2 * sin(x) dx.

Bei Integralen, in denen ein Ausdruck wie sin(x) oder cos(x), oder ein Exponentialausdruck wie ex (=exp(x)) (bei dem x also im Exponenten steht) vorkommt, ist es sinnvoll, dass dieser Ausdruck für die partielle Integration als v’(x) gewählt wird, da er sich durch Ableiten nicht vereinfachen würde und Sinn der partiellen Integration ist es ja, dass das entstehende Integral einen Ausdruck enthält, der weniger komplex ist als der im Ursprungsintegral.

Hier wählt man also u(x) = x2 und v’(x) = sin(x). Die benötigten Ausdrücke u’(x) und v(x) sind dann u’(x) = 2x und v(x) = -cos(x).

Wir stellen fest, dass der Ausdruck u’(x), der unter dem neuen Integral stehen wird, weniger komplex ist als das ursprüngliche u(x), da sich der Exponent verringert hat. Bei einer weiteren Ableitung wird man einen konstanten Ausdruck erhalten, der dann einfach als Faktor vor das Integral gezogen werden kann.

Einsetzen ergibt ∫ x2 * sin(x) dx = x2 * (-cos(x)) – ∫ 2x * (-cos(x)) dx.

Beim entstandenen Integral werden nun konstante Faktoren und Minuszeichen zusammengefasst und vor das Integral gezogen. Man erhält

∫ x2 * sin(x) dx = x2 * (-cos(x)) + 2∫ x * cos(x) dx.

Die Identifizierung von u(x) und v’(x) im neu entstandenen Integral geschieht nach den gleichen Richtlinien wie oben. Der Ausdruck, der sich in seiner Komplexität beim Ableiten vereinfacht, wird als u(x) gewählt, also u(x) = x. Es bleibt nur übrig v’(x) = cos(x). Die partielle Integration für das entstandene Integral ergibt ∫ x * cos(x) dx = x * sin(x) – ∫ 1 * sin(x) dx. Insgesamt erhält man also

∫ x2 * sin(x) dx = x2 * (-cos(x)) + 2(x * sin(x) – ∫ sin(x) dx).

Im neu entstandenen Restintegral steht nun ein Ausdruck, der ohne eine weitere partielle Integration direkt aufgeleitet werden kann.

Es ergibt sich schließlich

∫ x2 * sin(x) dx = x2 * (-cos(x)) + 2(x * sin(x) – (-cos(x))) = -x2cos(x) +2x*sin(x) +2cos(x) + c,

wobei c ein beliebiger konstanter Ausdruck ist, der üblicherweise an Stammfunktionen zu unbestimmten Integralen (ohne Grenzen) angehängt wird.

Aufgabe 4

 

Bestimmt werden soll ∫ cos(x)2 dx.

Auf den ersten Blick erkennt man hier nur einen Ausdruck, vielleicht denkt man auch an eine Verkettung von Funktionen. Allerdings kann man ja cos(x)2 umschreiben zu cos(x) * cos(x). Die Identifizierung von u(x) und v’(x) für die partielle Integration ist dann einfach, beides entspricht cos(x). Da aber zur Bestimmung von u’(x) und v(x) einmal auf- und einmal abgeleitet wird, unterscheiden sich die beiden Ausdrücke in ihrem Vorzeichen. Es ist u’(x) = -sin(x) und v(x) = sin(x). Dann ergibt sich

∫ cos(x)2 dx = cos(x) * sin(x) -∫ (-sin(x))*sin(x) dx = cos(x) * sin(x) + ∫ sin(x)2 dx.

An dieser Stelle verfährt man nun nicht wieder wie beim ursprünglichen Intergral, sondern benutzt einen Trick: Man erinnert sich an das Additionstheorem sin(x)2 + cos(x)2 = 1. Man löst dieses nach sin(x)2 auf und setzt den erhaltenen Ausdruck in das Integral ein:

∫ sin(x)2 dx = ∫ (1 – cos(x)2) dx.

Das neue Intergral kann man auseinander ziehen: ∫ 1 dx – ∫ cos(x)2 dx = x – ∫ cos(x)2 dx. Auf den ersten Blick mag man denken, dass man sich im Kreis gedreht und nichts erreicht hat, weil man wieder das Ausgangsintegral erhalten hat. Das ist aber vorschnell gedacht, denn was wir erhalten haben ist eine Gleichung:

∫ cos(x)2 dx = cos(x) * sin(x) + x – ∫ cos(x)2 dx.

Diese Gleichung kann man umstellen und erhält:

2∫ cos(x)2 dx = cos(x) * sin(x) + x,

eine Gleichung, die man einfach durch 2 dividieren kann, womit man ein Ergebnis für das gesuchte Integral erhält:

∫ cos(x)2 dx = ½ *cos(x) * sin(x) + ½ x + c.

Der konstante Faktor c wurde wieder standardmäßig an das Ergebnis für das unbestimmte Integral angehängt.

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